Geronova formula ali kako najti površino trikotnika s tremi stranicami

Trikotnik je najpreprostejši sklenjeni lik v ravnini, ki ga sestavljajo le trije med seboj povezani odseki. V geometrijskih problemih je pogosto treba določiti površino te figure. Kaj storiti treba je vedeti? V tem članku bomo odgovorili na vprašanje, kako najti površino trikotnika s tremi stranicami.

Splošna formula

Vsak šolar ve, da je površina trikotnika zmnožek dolžine poljubne stranice, a, in polovice višine, h, ki pripada izbrani stranici. Ustrezna formula je navedena spodaj: S = a*h/2.

To formulo lahko uporabite, če poznate vsaj dve stranici in kot med njima. V tem primeru lahko višino h enostavno izračunamo s trigonometričnimi funkcijami, npr. sinusom. Vendar ne znajo vsi najti površine trikotnika s tremi stranicami.

Geronova formula

Ta formula je odgovor na vprašanje, kako s pomočjo treh stranic ugotoviti površino trikotnika. Preden ga zapišemo, označimo dolžine odsekov poljubne oblike kot a, b in c. Heronova formula je zapisana v naslednji obliki: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)).

Kjer je p polmer slike, tj: p = (a+b+c)/2.

Kljub navidezni neuporabnosti si je enostavno zapomniti naslednji izraz za površino S. Če želite to narediti, najprej izračunajte polmer trikotnika, nato od njega odštejte eno dolžino stranic slike, pomnožite vse dobljene razlike in sam polmer. Na koncu vzemite kvadratni koren produkta.

Ta formula je poimenovana po Heronu Aleksandrijskem, ki je živel na začetku našega štetja. Sodobna zgodovina meni, da je bil ta filozof tisti, ki je prvi uporabil zgornji izraz za izvedbo ustreznih izračunov. Ta formula je objavljena v njegovem delu "Metrični", iz leta 60 n. št. Nekateri Arhimedovi zapisi, ki je živel dve stoletji pred Heronom, nakazujejo, da je grški filozof že poznal formulo. Poleg tega so stari Kitajci vedeli, kako najti površino trikotnika, če so poznali tri stranice.

Pomembno je poudariti, da je problem mogoče rešiti, ne da bi poznali obstoj Heronove formule. To storite tako, da v trikotnik narišete par višin in uporabite splošno formulo iz prejšnje točke ter sestavite ustrezen sistem enačb.

Geronov izraz lahko uporabimo za izračun površin poljubnih mnogokotnikov tako, da jih najprej razdelimo na trikotnike in izračunamo dolžine nastalih diagonal.

Primer rešitve problema

Ker vemo, kako s pomočjo treh stranic ugotoviti površino trikotnika, utrdimo svoje znanje z reševanjem naslednjega problema. Recimo, da so stranice 5 cm, 4 cm in 3 cm. Poiščite območje.

Poznamo tri stranice trikotnika, zato lahko uporabimo Heronovo formulo. Če izračunamo semiperimeter in potrebne razlike, dobimo:

• p = (a+b+c)/2 = 6 cm;
• p-a = 1 cm;
• p-b = 2 cm;
• p-c = 3 cm.

Nato dobimo območje: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = √(6*1*2*3) = 6 cm².

Trikotnik iz naloge je pravokotni trikotnik, kar lahko preverimo s Pitagorovim izrekom. Ker je površina takega trikotnika enaka polovici produkta katet, dobimo: S = 4*3/2 = 6 cm².

Dobljena vrednost se ujema s Heronovo formulo, kar potrjuje veljavnost slednje.