Površina prisekanega stožca. Formula in primer problema

V geometriji se pri preučevanju značilnosti in lastnosti vrtilnih števil posveča posebna pozornost. Eden od njih je prisekani stožec. Namen tega članka je odgovoriti na vprašanje, po kateri formuli lahko izračunamo površino prisekanega stožca.

O kakšnih številkah govorimo??

Preden opišemo površino prisekanega stožca, moramo najprej podati natančno geometrijsko opredelitev oblike. Odrezani stožec je stožec, ki ga dobimo tako, da vrh navadnega stožca odrežemo z ravnino. V tej opredelitvi je treba poudariti več točk. Prvič, ravnina prereza mora biti vzporedna z ravnino osnove stožca. Drugič, začetna figura mora biti krožni stožec. Seveda je lahko tudi eliptična, hiperbolična in druge vrste likov, vendar se v tem prispevku omejujemo le na obravnavo krožnega stožca. Slednje je prikazano na spodnji sliki.

Ni težko uganiti, da ga je mogoče dobiti ne le s prerezom z ravnino, temveč tudi z operacijo vrtenja. To storite tako, da vzamete trapez z dvema pravima kotoma in ga zavrtite okoli stranice, ki je sosednja tem pravim kotom. Zato postanejo osnove trapeza polmeri osnov usekanega stožca, stranska nagnjena stranica trapeza pa opiše stožčasto površino.

Vdolbina figure

Če upoštevamo površino prisekanega stožca, je koristno podati njegovo razpotegnjenost, to je podobo površine tridimenzionalnega lika na ravnini. Spodaj je risba obravnavane figure s poljubnimi parametri.

Vidimo, da površino slike tvorijo tri komponente: dva kroga in en odrezan krožni segment. Da bi določili površino, moramo sešteti površine vseh omenjenih oblik. To težavo bomo rešili v naslednji točki.

Površina prisekanega stožca

Za lažje razumevanje nadaljnjega razmišljanja uvedimo naslednje pojme:

• r1, r2 sta polmera velike oziroma male baze;
• h - višina slike;
• g je oblika stožca (dolžina poševne stranice trapeza).

Površina osnove prisekanega stožca je enostavna za izračun. Zapišimo ustrezne izraze:

S_o1 = pi*r₁²;

S_o2 = pi*r₂².

Površina dela krožnega odseka je bolj zapletena za določitev. Če si predstavljamo, da središče tega krožnega sektorja ni izrezano, bo njegov polmer enak vrednosti G. Zlahka ga izračunamo, če upoštevamo ustrezne podobne pravokotni trikotniki stožci. Enak je:

G = r₁*g/(r₁-r₂).

Potem je površina celotnega krožnega sektorja, ki je zgrajen na polmeru G in leži na loku dolžine 2*pi*r₁, bo enak:

S₁ = pi*r₁*G = pi*r₁²*g/(r₁-r₂).

Zdaj določite površino majhnega krožnega sektorja S₂, ki se odšteje od S₁. Enak je:

S₂ = pi*r₂*(G - g) = pi*r₂*(r₁*g/(r₁-r₂) - g) = pi*r₂²*g/(r₁-r₂).

Površina stožčaste prisekane površine S_b je enaka razliki S₁ in S₂. Dobimo:

S_b = S₁ - S₂ = pi*r₁²*g/(r₁-r₂) - pi*r₂²*g/(r₁-r₂) = pi*g*(r₁+r₂).

Kljub nekoliko okornim izračunom smo dobili dokaj preprost izraz za stransko površino lika.

S seštevanjem površin baz in S_b, dobimo formulo za površino okrnjenega stožca:

S = S_o1 + S_o2 + S_b = pi*r₁² + pi*r₂² + pi*g*(r₁+r₂).

Da bi lahko izračunali vrednost S obravnavane figure, moramo torej poznati njene tri linearne parametre.

Primer problema

Krožni ravni stožec s polmerom 10 cm in višino 15 cm je bil prerezan z ravnino, tako da je nastal pravilen prisekan stožec. Glede na to, da je razdalja med osnovama prisekanega stožca 10 cm, moramo ugotoviti površino njegove površine.

Da bi lahko uporabili formulo za površino prisekanega stožca, moramo poiskati tri parametre. Enega poznamo:

r₁ = 10 cm.

Drugih dveh ni težko izračunati, če upoštevamo podobne pravokotne trikotnike, ki nastanejo pri osnem prerezu stožca. Če upoštevamo pogoj problema, dobimo:

r₂ = 10*5/15 = 3,33 cm.

Končno bo vodilo skrajšanega stožca g enako:

g = √(10² + (r₁-r₂)²) = 12,02 cm.

Zdaj lahko vrednosti r₁, r₂ in g v formulo za S:

S = pi*r₁² + pi*r₂² + pi*g*(r₁+r₂) = 851,93 cm².

Površina slike je približno 852 cm².