Kaj je hiperboloid: enačba, konstrukcija, splošne značilnosti

Da bi si bralec lažje predstavljal, kaj je hiperboloid - tridimenzionalni predmet -, moramo najprej obravnavati istoimensko hiperboloidno krivuljo v dvodimenzionalnem prostoru.

Hiperbola ima dve osi: realno os, ki na tej sliki sovpada z abscisno osjo, in imaginarno os z ordinatno osjo. Če začnete miselno vrteti enačbo hiperboloida okoli njegove imaginarne osi, se površina, "pegasto" krivuljo, bo predstavljala enoslojni hiperboloid.

Če hiperboloid začnemo vrteti okoli njegove realne osi na ta način, se vsaka od dveh "polovice" krivulje bo tvorila posamezno površino, skupaj pa se bo imenovala dvodelni hiperboloid.

Če jih dobimo z vrtenjem ustrezne ravninske krivulje, jih imenujemo rotacijski hiperboloidi. V vseh smereh, pravokotnih na os vrtenja, se parametri, ki pripadajo vrteči se krivulji, ohranijo. V splošnem primeru ne.

Enačba hiperboloida

Na splošno lahko površino v kartezičnih koordinatah (x,y,z) določimo z naslednjimi enačbami:

Pri hiperboloidu rotacije je njegova simetrija glede na os, okoli katere se je vrtel, izražena z enakostjo koeficientov a=b.

Značilnosti hiperboloida

Osredotoča se na. Vemo, da imajo krivulje na ravnini oglišča - v primeru hiperbole je na primer modul razlike razdalj med poljubno točko na hiperboli in enim ter drugim ogliščem konstanten zaradi definicije pravilnega oglišča.

Pri prehodu v tridimenzionalni prostor se definicija praktično ne spremeni: gorišči sta spet dve točki, razlika razdalj od njiju do poljubne točke, ki pripada površini hiperboloida, pa je konstantna. Kot vidimo, se je zaradi sprememb pojavila le tretja koordinata vseh možnih točk, saj so zdaj opredeljene v prostoru. Na splošno je opredelitev oglišča enaka opredelitvi vrste krivulje ali ploskve: če povemo, kako so točke ploskve razporejene glede na oglišča, dejansko odgovorimo na vprašanje, kaj je hiperboloid in kako je videti.

Ne smemo pozabiti, da ima hiperbola asimptote - ravne črte, h katerim njene veje tečejo v neskončnost. Če pri konstrukciji rotacijskega hiperboloida miselno vrtimo asimptote skupaj s hiperboloidom, dobimo poleg hiperboloida še stožec, imenovan asimptotski stožec. Asimptotični stožec je prisoten tako pri enojnih kot pri dvojnih hiperboloidih.

Druga pomembna značilnost, ki je na voljo le za enopasovni hiperboloid, so pravokotne formante. Kot pove že ime, so to črte, ki v celoti ležijo na dani površini. Skozi vsako točko enostranskega hiperboloida potekata dve pravokotni tvorbi. Pripadata dvema družinama črt, ki ju opisuje naslednji sistem enačb:

Tako je mogoče hiperboloid z enim krogom v celoti sestaviti iz neskončnega števila premic dveh družin, pri čemer vsaka premica ene od njih seka vse premice druge. Površine, ki ustrezajo takšnim lastnostim, imenujemo linearne; sestavimo jih lahko z vrtenjem ene premice. Opredelitev s pomočjo medsebojne razporeditve črt (pravokotnih formantov) v prostoru lahko služi tudi kot nedvoumna oznaka, kaj je hiperboloid.

Zanimive lastnosti hiperboloida

Krivulje drugega reda in ustrezne rotacijske površine imajo zanimive optične lastnosti, povezane z žarišči. V primeru hiperboloida je formulirana takole: če se žarek sprosti iz enega oglišča, potem se odbije od najbližjega "stene", se bo usmeril, kot da bi prihajal iz drugega oglišča.

Hiperboloidi v življenju

Večina bralcev se je z analitično geometrijo in površinami drugega reda najverjetneje seznanila s fantazijskim romanom Alekseja Tolstoja "Hiperboloid inženirja Garina". Vendar pisec bodisi ni vedel, kaj je hiperboloid, bodisi je žrtvoval natančnost zaradi umetelnosti: opisani izum je po svojih fizikalnih lastnostih prej paraboloid, ki zbira vse žarke v enem žarišču (medtem ko optične lastnosti hiperboloida zadevajo razpršitev žarkov).

V arhitekturi so zelo priljubljene tako imenovane hiperboloidne konstrukcije: to so konstrukcije, ki imajo obliko enoceličnega hiperboloida ali hiperboličnega paraboloida. Gre za to, da imajo le te rotacijske površine drugega reda pravokotne oblike: tako je mogoče ukrivljeno strukturo sestaviti le iz ravnih nosilcev. Prednost takšnih konstrukcij je, da prenesejo velike obremenitve, npr. zaradi vetra: hiperboloidna oblika se uporablja pri gradnji visokih konstrukcij, kot so televizijski stolpi.