Maxwellov zakon. Maxwellova porazdelitev hitrosti

Raziskovanje lastnosti plinastega agregatnega stanja snovi je eno najpomembnejših področij sodobne fizike. S preučevanjem plinov v mikroskopskem merilu lahko dobimo vse makroskopske parametre sistema. V tem članku bomo obravnavali pomembno vprašanje molekularno-kinetične teorije plinov: kakšna je Maxwellova hitrostna porazdelitev molekul.

Zgodovinski oris

Zamisel o plinu kot sistemu mikroskopskih gibljivih delcev sega v antično Grčijo. Za njen razvoj je bilo potrebnih več kot 1700 let.

Za utemeljitelja sodobne molekularno-kinetične teorije plinov (MKS) upravičeno velja Daniel Bernoulli. Leta 1738 je objavil delo z naslovom "Hidrodinamika". V njem je Bernoulli predstavil ideje MCT, ki se uporabljajo še danes. Znanstvenik je na primer menil, da so plini sestavljeni iz delcev, ki se kaotično gibljejo v vseh smereh. Številni trki delcev s stenami posod se kažejo kot prisotnost tlaka v plinih. Hitrosti delcev so tesno povezane s temperaturo sistema. Bernoullijeve drzne zamisli znanstveniki niso sprejeli, ker zakon o ohranitvi energije še ni bil uveljavljen.

Pozneje so si številni znanstveniki prizadevali za oblikovanje kinetičnega modela plinov. Med njimi je bil pomemben Rudolf Clausius, ki je leta 1857 izdelal preprost model plina. V njem je znanstvenik posebno pozornost namenil obstoju translacijskih, rotacijskih in vibracijskih stopenj prostosti v molekulah.

Leta 1859 je James Maxwell med preučevanjem Clausiusovega dela oblikoval tako imenovano Maxwellovo hitrostno porazdelitev molekul. Maxwell je v bistvu potrdil zamisli MCT tako, da jih je podprl z matematičnim aparatom. Ludwig Boltzmann (1871) je kasneje povzel ugotovitve Maxwellove porazdelitve. Postuliral je splošnejšo statistično porazdelitev molekul glede na hitrost in energijo. Trenutno je znana kot Maxwell-Boltzmannova porazdelitev.

Idealni plin. Osnovni postulati MCT

Za razumevanje Maxwellove porazdelitvene funkcije je treba jasno razumeti sisteme, za katere ta funkcija velja. Govorimo o idealnem plinu. V fiziki se ta pojem razume kot tekoča snov, ki je sestavljena iz skoraj brezrazsežnih delcev, ki nimajo potencialne energije. Ti delci se gibljejo z velikimi hitrostmi, zato njihovo obnašanje v celoti določa kinetična energija. Poleg tega so razdalje med delci prevelike v primerjavi z njihovo velikostjo, zato jih zanemarimo.

Idealni plini so opisani v okviru MCT. Njegovi glavni postulati so naslednji:

• plinski sistemi so sestavljeni iz velikega števila prostih delcev;
• delci se gibljejo kaotično z različnimi hitrostmi v različnih smereh po ravnih trajektorijah;
• delci elastično trčijo v stene posod (verjetnost medsebojnega trčenja delcev je majhna zaradi njihove majhnosti);
• temperatura sistema je nedvoumno določena s srednjo kinetično energijo delcev, ki se ohranja v času, če je v sistemu vzpostavljeno termodinamično ravnovesje.

Maxwellov zakon o porazdelitvi

Če bi imeli instrument, s katerim bi lahko izmerili hitrost ene same molekule plina, bi bili po izvedbi ustreznega poskusa presenečeni. Poskus bi pokazal, da se vsaka molekula v katerem koli plinskem sistemu giblje s povsem poljubno hitrostjo. Tako je znotraj enega sistema, ki je v toplotnem ravnovesju s okolje, zaznali bi tako zelo počasne kot zelo hitre molekule.

Maxwellov zakon o porazdelitvi hitrosti molekul plina je orodje, ki omogoča določitev verjetnosti, da v preučevanem sistemu najdemo delec z določeno hitrostjo v. Ustrezna funkcija je naslednja:

f(v) = (m/(2*pi*k*T))^3/2*4*pi*v²*exp(-m*v)²/(2*k*T)).

V izrazu m je masa delca (molekule), k je Boltzmannova konstanta, T - absolutna temperatura. Če je torej znana kemijska narava delcev (vrednost m), je funkcija f(v) enolično določena z absolutno temperaturo. Funkcija f(v) se imenuje gostota verjetnosti. Če iz njega vzamemo integral neke meje hitrosti (v; v+dv), dobimo število delcev N_i, ki imajo hitrosti v danem intervalu. Če vzamemo integral gostote verjetnosti f(v) za meje hitrosti od 0 do ∞, dobimo skupno število molekul N v sistemu.

Grafični prikaz funkcije gostote verjetnosti f(v)

Funkcija gostote verjetnosti ima nekoliko zapleteno matematično obliko, zato njenega obnašanja pri določeni temperaturi ni enostavno predstaviti. Problem lahko rešimo, če ga narišemo na dvodimenzionalni graf. Na spodnji sliki je prikazan shematski prikaz Maxwellovega porazdelitvenega grafa.

Vidimo, da se začne pri ničli, saj hitrost v molekul ne more imeti negativnih vrednosti. Graf se konča nekje v območju visokih hitrosti in gladko pade do ničle (f(∞)->0). Druga presenetljiva značilnost je, da je gladka krivulja asimetrična, saj se pri nižjih hitrostih močneje zmanjša.

Pomembna značilnost obnašanja funkcije gostote verjetnosti f(v) je prisotnost enega izrazitega maksimuma na njej. Po fizikalnem smislu funkcije ta maksimum ustreza najverjetnejši vrednosti hitrosti molekul v plinskem sistemu.

Pomembne vrste hitrosti za funkcijo f(v)

Funkcija gostote verjetnosti f(v) in njen grafični prikaz nam omogočata opredelitev treh pomembnih hitrosti.

Prva vrsta hitrosti, ki je očitna in je bila omenjena zgoraj, je najverjetnejša hitrost v₁. Na grafu njegova vrednost ustreza maksimumu funkcije f(v). Prav to hitrost in vrednosti, ki so ji blizu, ima večina delcev v sistemu. Izračun ni težaven, vzemite prvi odvod funkcije hitrosti f(v) in ga izenačite z ničlo. Z zgornjimi matematičnimi operacijami dobimo končni rezultat:

v₁ = √(2*R*T/M).

Pri tem je R univerzalna plinska konstanta, M molska masa molekul.

Druga oblika hitrosti je njena srednja vrednost za vseh N delcev. Označimo ga z v₂. Izračunamo jo lahko tako, da integriramo funkcijo v*f(v) za vse hitrosti. Rezultat označene integracije bo naslednja formula:

v₂ = √(8*R*T/(pi*M)).

Ker je razmerje 8/pi>2, potem je povprečna hitrost vedno nekoliko večja od najverjetnejše.

Vsakdo, ki se vsaj malo spozna na fiziko, se zaveda, da je srednja hitrost v₂ molekul mora biti v plinskem sistemu zelo pomemben. Kljub temu je to zmota. Veliko pomembnejša je srednja kvadratna hitrost. Označimo ga z v₃.

Po definiciji je srednja kvadratna hitrost vsota kvadratov posameznih hitrosti vseh delcev, deljeno s številom teh delcev in vzeto kot kvadratni koren. Za Maxwellovo porazdelitev jo lahko izračunamo tako, da določimo integral vseh hitrosti iz funkcije v²*f(v). Formula za kvadratično srednjo hitrost bo imela obliko:

v₃ = √(3*R*T/M).

Iz enakosti je razvidno, da je ta hitrost večja od vrednosti v₂ in v₁ za vsak plinski sistem.

Vse obravnavane vrste hitrosti na grafu Maxwellove porazdelitve ležijo na skrajni točki ali desno od nje.

Pomen različice v3

Zgoraj je bilo navedeno, da je za razumevanje fizikalnih procesov in lastnosti plinskega sistema pomembnejša srednja kvadratna hitrost kot preprosta srednja hitrost v₂. To je res, saj je kinetična energija idealnega plina natančno odvisna od vrednosti v₃, ne iz v₂.

Če upoštevamo enatomni idealni plin, zanj velja naslednji izraz:

m*v₃²= 3/2*k*T.

Pri tem je vsak del enačbe kinetična energija enega delca z maso m. Zakaj je vrednost v₃, in ne povprečna hitrost v₂? Zelo preprosto: pri določanju kinetične energije vsakega delca se njegova individualna hitrost v izračuna v kvadratu, nato se vse hitrosti seštejejo in delijo s številom delcev N. To pomeni, da postopek določanja kinetične energije sam po sebi vodi do vrednosti korena srednje kvadratne hitrosti.

Odvisnost funkcije f(v) od temperature

Zgoraj smo ugotovili, da je gostota verjetnosti hitrosti molekul močno odvisna od temperature. Kako se bo funkcija spremenila, če povečate ali zmanjšate T? Spodnji graf vam bo pomagal odgovoriti na to vprašanje.

vidimo, da segrevanje zaprtega sistema povzroči zabrisanje vrha in premik k višjim hitrostim. Povečanje temperature povzroči povečanje vseh hitrosti in zmanjšanje njihove funkcije gostote verjetnosti. Vrednost vrha se zmanjša zaradi ohranjanja števila delcev N v zaprtem sistemu.

Nato rešimo nekaj nalog, da bi utrdili pridobljeno teoretično gradivo.

Težava z molekulami dušika v zraku

Izračunati je treba hitrosti v₁, v₂ in v₃ za zračni dušik pri temperaturi 300 K (približno 27 ^oC).

Molska masa dušika N₂ je 28 g/mol. Z uporabo zgornjih formul dobimo:

v₁ = √(2*R*T/M) = √(2*8,314*300/0,028) = 422 m/s;

v₂ = √(8*R*T/(pi*M)) = √(8*8,314*300/(3,14*0,028)) = 476 m/s;

v₃ = √(3*R*T/M) = √(3*8,314*300/0,028) = 517 m/s.

Problem s kisikom v jeklenki

Kisik v jeklenki je imel določeno temperaturo T₁. Cilinder je bil nato postavljen v hladnejši prostor. Kako se bo spremenil Maxwellov graf porazdelitve hitrosti za molekule kisika, ko sistem doseže termodinamično ravnovesje??

Če se spomnimo teorije, lahko na vprašanje problema odgovorimo takole: vrednosti vseh vrst hitrosti molekul se bodo zmanjšale, vrh funkcije f(v) se bo premaknil v levo, postal bo ožji in višji.