Kako najti produkt matrik. Množenje matrik. Skalarni produkt matrik. Produkt treh matrik

Matrike (tabele s številčnimi elementi) je mogoče obdelovati na različne načine. Ena od njih je množenje s številom, vektorjem, drugo matriko, več matrikami. Izdelek je včasih napačen. Napačen rezultat je posledica nepoznavanja pravil računskih operacij. Ugotovimo, kako se izvaja množenje.

Matrika in število

Začnimo z najpreprostejšo, z množenjem tabele števil z določeno vrednostjo. Imamo na primer matriko A z elementi a_ij (i so številke vrstic, j pa številke stolpcev) in število e. Produkt matrike s številom e je matrika B z elementi b_ij, ki ga lahko določimo s formulo:

b_ij = e × a_ij.

Т. е. da dobimo element b₁₁ moramo vzeti element a₁₁ in ga pomnožite z želenim številom, da dobite b₁₂ poiskati moramo produkt elementa a₁₂ ter števila e in t. д.

Rešimo problem #1, ki je prikazan na sliki. Matriko B dobimo tako, da elemente matrike A preprosto pomnožimo s 3:

1. a₁₁ × 3 = 18. To vrednost zapišite v matriko B v točki, kjer se sekata stolpec 1 in vrstica 1.
2. a₂₁ × 3 = 15. Dobili smo element b₂₁.
3. a₁₂ × 3 = -6. Dobili smo element b₁₂. Zapišite ga v matriko B na mestu, kjer se sekata stolpec št. 2 in vrstica št. 1.
4. a₂₂ × 3 = 9. Ta rezultat je element b₂₂.
5. a₁₃ × 3 = 12. To število vnesite v matriko namesto elementa b₁₃.
6. a₂₃ × 3 = -3. Zadnje dobljeno število je element b₂₃.

Tako smo dobili pravokotno polje s številčnimi elementi.

Vektorji in pogoj za obstoj matričnega dela

V matematičnih disciplinah obstaja pojem "vektor". Ta izraz se nanaša na urejeno množico vrednosti iz₁ do_n. Imenujejo se vektorske prostorske koordinate in so zapisane v obliki stolpca. Obstaja tudi izraz "transponirani vektor". Njeni sestavni deli so razporejeni v kot vrstica.

Vektorje lahko imenujemo matrike:

• stolpčni vektor je matrika, zgrajena iz enega samega stolpca;
• Matrika z vektorsko vrstico je matrika, ki vsebuje samo eno vrstico.

Pri izvajanju operacij množenja matrik se je treba zavedati, da obstaja pogoj za obstoj produkta. Računsko operacijo A × B je mogoče izvesti le, če je število stolpcev v tabeli A enako številu vrstic v tabeli B. Končna matrika, ki je rezultat izračuna, ima vedno število vrstic tabele A in število stolpcev tabele B.

Pri množenju ni priporočljivo zamenjati matrik (množiteljev). Njihov produkt običajno ne sledi komutativnemu (permutativnemu) zakonu množenja, tj. е. rezultat operacije A × B ni enak rezultatu operacije B × A. Ta lastnost se imenuje nekomutativni matrični produkt. V nekaterih primerih je rezultat množenja A × B enak rezultatu množenja B × A, t. е. produkt je komutativen. Matrike, v katerem je izpolnjena enakost A × B = B × A, se imenujejo permutacije. Primeri teh tabel so na voljo spodaj.

Množenje s stolpčnim vektorjem

Pri množenju matrike z vektorskim stolpcem upoštevajte pogoj, da produkt obstaja. Število stolpcev (n) v tabeli mora biti enako številu koordinat, ki sestavljajo vektor. Rezultat izračuna je transformiran vektor. Število njegovih koordinat je enako številu vrstic (m) v tabeli.

Kako izračunamo koordinate vektorja y?, če obstajajo matriko A in vektor x? Formule, ustvarjene za izračun, so:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n,

y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n,

......................................,

y_m = a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n,

kjer je x₁, ..., x_n - koordinate iz vektorja x, m - število vrstic v matriki in število koordinat v novem vektorju y, n - število stolpcev v matriki in število koordinat v vektorju x, a₁₁, a₁₂, ..., a_mn - elementi matrike A.

Da bi dobili i-to komponento novega vektorja, je treba uporabiti skalarni produkt. Iz matrike A se vzame i-ta vrstica vektorja, ki se pomnoži z razpoložljivim vektorjem x.

Rešimo težavo #2. Produkt matrike na vektorju lahko najdemo, ker ima A 3 stolpce, x pa 3 koordinate. Tako dobimo stolpčni vektor s 4 koordinatami. Uporabimo zgornje formule:

1. Izračunajte y₁. 1 × 4 + (-1) × 2 + 0 × (-4). Dobljena vrednost je 2.
2. Izračunajte y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (-4). Pri izračunu dobimo 0.
3. Izračunajmo y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (-4). Vsota zmnožkov navedenih množiteljev je enaka 6.
4. Izračunajmo y₄. (-1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (-4). Njegova koordinata je enaka -8.

Množenje vrstice vektorja z matriko

Matrike, sestavljene iz več stolpcev, ne moremo pomnožiti z vektorsko vrstico. V takih primerih pogoj obstoja izdelka ni izpolnjen. Toda množenje vektorskega niza z matriko je mogoče. Ta računska operacija se izvede, ko število koordinat v vektorju in število vrstic v tabeli sovpadata. Rezultat produkta vektorja na matriko je nova vektorska vrstica. Število njenih koordinat mora biti enako številu stolpcev v matriki.

Izračun prve koordinate novega vektorja pomeni množenje vrstice vektorja in prvega stolpca vektorja iz tabele. Druga koordinata se izračuna na podoben način, vendar se namesto prvega stolpca vektorja vzame drugi stolpec vektorja. Tukaj je splošna formula za izračun koordinat:

y_k = a_1kx₁ + a_2kx₂ + ... + a_mkx_m,

kjer je y_k - je koordinata iz vektorja y (k je med 1 in n), m je število vrstic v matriki in število koordinat v vektorju x, n je število stolpcev v matriki in število koordinat v vektorju y, a z alfanumeričnimi indeksi so elementi matrike A.

Produkt pravokotnih matrik

Ta računska naloga se morda zdi zapletena. Vendar lahko množenje enostavno izvedemo z. Začnemo z opredelitvijo. Produkt matrike A z m vrsticami in n stolpci ter matrike B z n vrsticami in p stolpci je matrika C z m vrsticami in p stolpci, kjer je element c_ij je vsota zmnožkov elementov i-te vrstice iz tabele A in j-tega stolpca iz tabele B. Enostavneje rečeno, element c_ij - je skalarni produkt i-te vektorske vrstice iz tabele A in j-tega vektorskega stolpca iz tabele B.

Zdaj pa v praksi poiščimo, kako najti produkt matrik pravokotne oblike. V ta namen rešimo problem št. 3. Pogoj za obstoj izdelka je izpolnjen. Nadaljujte z izračunom elementov c_ij:

1. Matrika C bo sestavljena iz 2 vrstic in 3 stolpcev.
2. Izračunajte element c₁₁. To storimo tako, da izvedemo skalarni produkt vrstice 1 iz matrike A in stolpca 1 iz matrike B. c₁₁ = 0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1 = 16. Nadaljujte na podoben način, pri čemer spremenite le vrstice, stolpce (odvisno od indeksa elementa).
3. c₁₂ = 12.
4. c₁₃ = 9.
5. c₂₁ = 31.
6. c₂₂ = 18.
7. c₂₃ = 36.

Elementi se izračunajo. Zdaj nam preostane le še, da iz dobljenih števil sestavimo pravokotni blok.

Množenje treh matrik: teoretični del

Ali je mogoče najti produkt treh matrik? Ta postopek izračuna je mogoč. Rezultat je lahko na več načinov. Na primer, obstajajo tri kvadratne mize (enakega vrstnega reda) - A, B in C. Za izračun izdelka lahko:

1. Najprej pomnožite A in B. Rezultat nato pomnožite s C.
2. Najprej poišči produkt B in C. Nato pomnožite matriko A z dobljenim rezultatom.

Če moramo pomnožiti pravokotne matrike, se moramo najprej prepričati, da je ta računska operacija mogoča. Izdelka A × B in B × C morata obstajati.

Stopenjsko množenje ni napaka. Obstaja nekaj takega kot "asociativnost množenja matrik". Ta izraz se nanaša na enakost (A × B) × C = A × (B × C).

Množenje treh matrik: vaja

Kvadratne matrike

Začnimo z množenjem majhnih kvadratnih matrik. Spodnja slika prikazuje problem številka 4, ki ga moramo rešiti.

Uporabimo lastnost asociativnosti. Najprej pomnožimo A in B ali B in C. Zapomnite si le eno: množiteljev ne smete preurediti, t. е. ni mogoče pomnožiti z B × A ali C × B. S tem množenjem dobimo napačen rezultat.

Korak rešitve.

Prvi korak. Če želite ugotoviti skupni produkt, najprej pomnožite A z B. Pri množenju dveh matrik bomo upoštevali ista pravila kot zgoraj. Rezultat množenja A in B je matrika D z 2 vrsticama in 2 stolpcema, t. е. pravokotno polje bo vsebovalo 4 elemente. Poiščimo jih z izračunom:

• d₁₁ = 0 × 1 + 5 × 6 = 30;
• d₁₂ = 0 × 4 + 5 × 2 = 10;
• d₂₁ = 3 × 1 + 2 × 6 = 15;
• d₂₂ = 3 × 4 + 2 × 2 = 16.

Vmesni rezultat je pripravljen.

Drugi korak. Zdaj pomnožite matriko D z matriko C. Rezultat mora biti kvadratna matrika G z 2 vrsticama in 2 stolpcema. Izračunajte elemente:

• g₁₁ = 30 × 8 + 10 × 1 = 250;
• g₁₂ = 30 × 5 + 10 × 3 = 180;
• g₂₁ = 15 × 8 + 16 × 1 = 136;
• g₂₂ = 15 × 5 + 16 × 3 = 123.

Tako je produkt kvadratnih matrik tabela G z izračunanimi elementi.

Pravokotne matrike

Problem št. 5 je prikazan na spodnji sliki. Pomnožite pravokotne matrike in poiščite rešitev.

Preverimo, ali je izpolnjen pogoj obstoja izdelkov A × B in B × C. Vrstni redi teh matrik nam omogočajo množenje. Rešimo težavo.

Koraki rešitve.

Prvi korak. Pomnožite B s C, da dobite D. Matrika B ima 3 vrstice in 4 stolpce, matrika C pa 4 vrstice in 2 stolpca. To pomeni, da imamo matriko D s tremi vrsticami in dvema stolpcema. Izračunajte elemente. Tukaj sta 2 primera izračunov:

• d₁₁ = 3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0;
• d₁₂ = 3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6 = 7.

Nadaljujemo z reševanjem problema. Z nadaljnjimi izračuni smo ugotovili, da so vrednosti d₂₁, d₂₂, d₃₁ in d₃₂. Ti elementi so 0, 19, 1 in 11. Najdene vrednosti zapišimo v pravokotno polje.

Drugi korak. Pomnožite A z D, da dobite končno matriko F. Imela bo 2 vrstici in 2 stolpca. Izračunajte elemente:

• f₁₁ = 2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1 = 1;
• f₁₂ = 2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11 = 139;
• f₂₁ = 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1 = 3;
• f₂₂ = 0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11 = 52.

Oblikujmo pravokotno polje, ki je končni rezultat množenja treh matrik.

Poznavanje neposrednega izdelka

Kroneckerjev produkt matrik je precej težko razumeti. Ima dodatno ime - neposredni izdelek. Kaj pomeni ta izraz? Predpostavimo, da imamo tabelo A reda m × n in tabelo B reda p × q. Neposredni produkt matrike A na matriko B je matrika reda mp × nq.

Imamo 2 kvadratni matrici A, B, ki sta prikazani na sliki. Prvi je sestavljen iz 2 stolpcev in 2 vrstic, drugi pa iz 3 stolpcev in 3 vrstic. Vidimo, da je matrika, ki nastane kot neposredni produkt, sestavljena iz 6 vrstic in popolnoma enakega števila stolpcev.

Kako se izračunajo elementi nove matrike za neposredni produkt? Odgovor na to vprašanje zlahka poiščete z analizo slike. Najprej izpolnite prvo vrstico. Vzamejo prvi element zgornje vrstice v tabeli A in ga zaporedno pomnožijo z elementi prve vrstice v tabeli B. Nato vzamejo drugi element prve vrstice tabele A in ga zaporedno pomnožijo z elementi prve vrstice tabele B. Da bi zapolnili drugo vrstico, ponovno vzamejo prvi element prve vrstice tabele A in ga pomnožijo z elementi druge vrstice tabele B.

Rezultatno matriko, ki jo dobimo z neposrednim produktom, imenujemo blok matrika. Če še enkrat analizirate sliko, boste videli, da je naš rezultat sestavljen iz 4 blokov. Vsi vključujejo elemente matrike B. Poleg tega se element vsakega bloka pomnoži z določenim elementom matrike A. V prvem bloku se vsi elementi pomnožijo z a₁₁, v drugem, z₁₂, v tretjem z₂₁, v četrti z₂₂.

Determinanta izdelka

Pri obravnavi množenja matrik je treba upoštevati tudi izraz "determinanta produkta matrik". Kaj je kvalifikator? To je pomemben determinanta kvadratne matrike, določena vrednost, ki je dodeljena tej matriki. Dobesedni zapis determinante je det.

Za matriko A, sestavljeno iz dveh stolpcev in dveh vrstic, se determinanta zlahka najde. Obstaja majhna formula, ki predstavlja razliko produktov določenih elementov:

det A = a₁₁ × a₂₂ - a₁₂ × a₂₁.

Oglejmo si primer izračuna determinante za tabelo drugega reda. Obstaja matrika A, v kateri je a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 5 in a₂₂ = 1. Za izračun determinante uporabimo formulo

det A = 2 × 1 - 3 × 5 = 2 - 15 = -13.

Za matrike 3 × 3 se determinanta izračuna z bolj zapleteno formulo. V nadaljevanju je prikazana za matriko A:

det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃.

Za pomnjenje formule smo si izmislili pravilo trikotnika, ki je prikazano na sliki. Najprej se elementi glavne diagonale pomnožijo z. Dobljeni vrednosti prištejemo produkte elementov, ki jih kažejo koti trikotnikov z rdečimi stranicami. Nato odštejemo produkt elementov stranske diagonale in odštejemo produkte elementov, ki kažejo na kote trikotnikov z modrimi stranicami.

Pogovorimo se o determinanti produkta matrike. Obstaja izrek, ki pravi, da je ta eksponent enak produktu determinant kvocientov. Oglejmo si primer. Imamo matriko A z elementi a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 in a₂₂ = 1 in matriko B z elementi b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 in b₂₂ = 2. Poiščite determinante za matriki A in B, produkt A × B in determinanto produkta.

Korak rešitve.

Prvi korak. Izračunajte determinanto za A: det A = 2 × 1 - 3 × 1 = -1. Nato izračunajte determinanto za B: det B = 4 × 2 - 5 × 1 = 3.

Drugi korak. Poiščite produkt A × B. Novo matriko označimo s C. Izračunajte njegove elemente:

• c₁₁ = 2 × 4 + 3 × 1 = 11;
• c₁₂ = 2 × 5 + 3 × 2 = 16;
• c₂₁ = 1 × 4 + 1 × 1 = 5;
• c₂₂ = 1 × 5 + 1 × 2 = 7.

Tretji korak. Izračunajte determinanto za C: det C = 11 × 7 - 16 × 5 = -3. Primerjajte jo z vrednostjo, ki bi jo dobili z množenjem determinant začetnih matrik. Številke so enake. Zgornja trditev je resnična.

Rang izdelka

Rang matrike je značilnost, ki predstavlja največje število linearno neodvisnih vrstic ali stolpcev. Za izračun ranga se izvedejo osnovne transformacije matrik:

• preureditev dveh vzporednih ležečih vrst;
• množenje vseh elementov določene vrstice tabele s številom, ki ni enako nič;
• dodajanje elementov ene vrstice elementom druge vrstice, pomnoženih z določenim številom.

Po osnovnih transformacijah si ogledamo število neničelnih vrstic. Njihovo število je rang matrike. Upoštevajte prejšnji primer. Predstavljena sta bili 2 matriki: A z elementi a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 in a₂₂ = 1 in B z elementi b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 in b₂₂ = 2. Uporabili bomo tudi matriko C, ki jo dobimo z množenjem. Če izvedemo osnovne transformacije, potem v poenostavljenih matrikah ni ničelnih vrstic. To pomeni, da so rang tabele A, rang tabele B in rang tabele C enaki 2.

Posebno pozornost posvetimo rangu produkta matrik. Obstaja izrek, ki pravi, da rang produkta tabel, ki vsebujejo številske elemente, ne presega ranga nobenega od faktorjev. To lahko dokažemo z. Naj bo A matrika velikosti k × s, B pa matrika velikosti s × m. Produkt A in B je enak C.

Preučimo zgornjo sliko. Prikazuje prvi stolpec matrike C in njen poenostavljeni zapis. Ta stolpec je linearna kombinacija stolpcev v matriki A. Na enak način lahko rečemo za kateri koli drugi stolpec pravokotnega polja C. Podprostor, ki ga tvorijo stolpčni vektorji tabele C, torej obstaja v podprostoru, ki ga tvorijo stolpčni vektorji tabele A. Zato dimenzionalnost podprostora #1 ni večja od dimenzionalnosti podprostora #2. Iz tega sledi, da rang stolpca tabele C ne presega ranga stolpca tabele A, t. е. r(C) ≤ r(A). Če razmišljamo na podoben način, vidimo, da so črte matrike C linearne kombinacije črt matrike B. Neenakost r(C) ≤ r(B) izhaja iz tega.

Kako najti produkt matrik je precej zapletena tema. Zlahka ga je mogoče obvladati, vendar bo za dosego takega rezultata treba porabiti veliko časa za pomnjenje vseh obstoječih pravil in trditev.