Matrike: gaussova metoda. Gaussova metoda za izračun matrik: primeri

Linearna algebra, ki se poučuje na univerzah različnih smeri, združuje kar nekaj zapletenih tem. Nekateri so povezani z matrikami in reševanjem sistemov linearnih enačb z Gaussovo in Gauss-Jordanovo metodo. Vsi učenci ne razumejo teh tem, algoritmov za reševanje različnih problemov. Skupaj si oglejmo Gaussove in Gauss-Jordanove matrike in metode.

Osnovni koncepti

Matrika v linearni algebri pomeni pravokotno polje elementov (tabelo). V nadaljevanju so prikazane množice elementov, zaprte v oklepajih. To so matrike. Zgornji primer kaže, da elementi v pravokotnih poljih niso le številke. Matrika je lahko sestavljena iz matematičnih funkcij, algebrskih simbolov.

Za razumevanje nekaterih pojmov oblikujmo matriko A iz elementov a_ij. Indeksi niso le črke: i je število vrstic v tabeli, j pa število stolpcev v območju preseka, katerega element a_ij. Tako smo dobili matriko z elementi, kot so a₁₁, a₂₁, a₁₂, a₂₂ in t. д. Z n označimo število stolpcev in z m število vrstic. Simbol m × n označuje dimenzijo matrike. To je koncept, ki določa število vrstic in stolpcev v pravokotnem polju elementov.

Ni nujno, da ima matrika več stolpcev in vrstic. Pri dimenziji 1 × n je polje elementov enovrstično, pri dimenziji m × 1 pa enoslojno. Če sta število vrstic in število stolpcev enaka, se matrika imenuje kvadratna matrika. Vsaka kvadratna matrika ima determinanto (det A). S tem izrazom mislimo na število, ki ga dobi matrika A.

Za uspešno reševanje matrik si je treba zapomniti še nekaj pomembnih pojmov: glavne in stranske diagonale. Glavna diagonala matrike je definirana kot diagonala, ki poteka od levega vogala navzdol do desnega vogala tabele. Stranska diagonala poteka od spodnjega levega kota navzgor do desnega kota.

Pogled matrike korakov

Oglejte si spodnjo sliko. Na njej boste videli matriko in shemo. Najprej obravnavajmo matriko. V linearni algebri se matrika te oblike imenuje stopenjska matrika. Ima eno lastnost: če je_ij je prvi neničelni element v i-ti vrstici, potem vsi drugi elementi iz matrike pod in levo od a_ij, so enake nič (t. е. vse elemente, ki se lahko označijo s črko a_kl, kjer je k>i in l

Sedaj si oglej diagram. Odraža stopenjsko obliko matrike. V diagramu so 3 vrste celic. Vsaka vrsta označuje določene elemente:

• prazne celice so ničelni elementi matrike;
• osenčeni kvadrati so poljubni elementi, ki so lahko ničelni ali neničelni;
• črni kvadrati - neničelni elementi, ki se imenujejo vogalni elementi, "koraki" (v matriki, ki je predstavljena v nadaljevanju, so taki elementi števke -1, 5, 3, 8).

Pri reševanju matrik včasih dobite rezultat, pri katerem je "dolžina" koraka večja od 1. To je dovoljeno. Pomembna je le "višina" stopnic. Ta parameter mora biti v stopenjski matriki vedno enak ena.

Reduciranje matrike v stopenjsko obliko

Vsako pravokotno matriko lahko pretvorimo v stopenjsko obliko. To dosežemo z osnovnimi transformacijami. Med njimi so:

• prestavite vrstice;
• dodajanje ene vrstice drugi vrstici, pomnoženi s številom, če je potrebno (lahko se izvede tudi odštevanje).

Obravnavajmo osnovne transformacije pri reševanju določenega problema. Spodnja slika prikazuje matriko A, ki jo je treba zmanjšati na stopenjsko obliko.

Za rešitev problema bomo uporabili algoritem:

• Primerno je izvesti transformacijo na matriki, katere prvi element je v zgornjem kotu na levi strani (t. е. "vodilni" element) je enak 1 ali -1. V našem primeru je prvi element v zgornji vrstici 2, zato zamenjajmo prvo in drugo vrstico med seboj.
• Izvedimo operacije odštevanja, ki vplivajo na vrstice 2, 3 in 4. V prvem stolpcu pod vodilnim elementom bi morali dobiti ničle. Za dosego tega rezultata: od elementov vrstice številka 2 zaporedno odštejemo elemente vrstice številka 1, pomnožene z 2; od elementov vrstice številka 3 zaporedno odštejemo elemente vrstice številka 1, pomnožene s 4; od elementov vrstice številka 4 zaporedno odštejemo elemente vrstice številka 1.
• Nato bomo delali s skrajšano matriko (brez stolpca 1 in vrstice 1). Novi "vodilni" element na presečišču drugega stolpca in druge vrstice je -1. Vrstic nam ni treba preurejati, zato prvi stolpec ter prvo in drugo vrstico prepišemo brez sprememb. Izvedimo operacije odštevanja, da bi dobili ničle v drugem stolpcu pod "vodilnim" elementom: od elementov tretje vrstice zaporedno odštejemo elemente druge vrstice, pomnožene s 3; od elementov četrte vrstice dosledno odštejemo elemente druge vrstice, pomnožene z 2.
• Spremeniti je treba še zadnjo vrstico. Od njenih elementov zaporedno odštejemo elemente tretje vrstice. Tako smo dobili stopenjsko matriko.

Redukcija matrik v stopenjsko obliko se uporablja pri reševanju sistemov linearnih enačb (SLE) z Gaussovo metodo. Preden si ogledamo to metodo, razumimo izraze, povezane z enoto SLU.

Matrike in sistemi linearnih enačb

Matrike se uporabljajo v različnih znanostih. Z uporabo tabel števil je mogoče na primer rešiti linearne enačbe, združene v sistem, z Gaussovo metodo. Najprej se seznanimo z nekaj izrazi in njihovimi definicijami ter si oglejmo, kako iz sistema, ki združuje več linearnih enačb, nastane matrika.

SLU - več enotnih algebrskih enačb, v katerih so neznanke prve stopnje in ni izrazov, ki bi predstavljali produkt neznank.

Rešitev SLU so najdene vrednosti neznank, z zamenjavo katerih enačbe v sistemu postanejo identitete.

Skupni SLU je tak sistem enačb, ki ima vsaj eno rešitev.

nezdružljiva SLU - sistem enačb, ki nima rešitev.

Kako je matrika sestavljena iz sistema, ki združuje linearne enačbe? Obstajata pojma, kot sta osnovna in razširjena matrika sistema. Da bi dobili glavno matriko sistema, je treba pregledati vse koeficiente pri neznankah. Razširjeno matriko dobimo z z dodajanjem glavno matriko stolpca prostih izrazov (vsebuje znane elemente, s katerimi je izenačena vsaka enačba v sistemu). Celoten postopek lahko razumete, če si ogledate spodnjo sliko.

Na sliki najprej vidimo sistem, ki vsebuje linearne enačbe. Njegovi elementi so: a_ij - so numerični koeficienti, x_j - neznankami, b_i - prosti izrazi (kjer i = 1, 2, ..., m in j = 1, 2, ..., n). Drugi element na sliki je osnovna matrika koeficientov. Iz vsake enačbe so koeficienti zapisani v vrstici. Zato je v matriki toliko vrstic, kolikor je enačb v sistemu. Število stolpcev je enako največjemu številu koeficientov v kateri koli enačbi. Tretji element na sliki je razširjena matrika s stolpcem prostih članov.

Splošne informacije o Gaussovi metodi

V linearni algebri je Gaussova metoda klasični način reševanja SLU. Imenuje se po Carlu Friedrichu Gaussu, ki je živel v 18. in 19. stoletju. Je eden največjih matematikov vseh časov. Bistvo Gaussove metode je izvajanje osnovnih transformacij na sistemu linearnih algebrskih enačb. S pomočjo transformacij se SLU zmanjša na ekvipotentni sistem trikotniške (stopenjske) oblike, iz katerega je mogoče najti vse spremenljivke.

Omeniti velja, da Carl Friedrich Gauss ni odkritelj klasične način reševanja sistemi linearnih enačb. Metoda je bila zasnovana že veliko prej. Prvi in njegov opis je.. Najdemo ga v enciklopediji znanja starodavnih kitajskih matematikov z naslovom "Matematika v 9 knjigah".

Primer reševanja SLU z Gaussovo metodo

Oglejmo si primer reševanja sistemov z Gaussovo metodo. Delujmo z enoto SLU, prikazano na sliki.

Algoritem rešitve:

1. Uporabimo enostavno Gaussovo metodo za redukcijo sistema na stopenjsko obliko, vendar najprej oblikujmo razširjeno matriko numeričnih koeficientov in prostih členov.
2. Matriko rešimo z Gaussovo metodo (t. е. da bi ga spravili v stopenjsko obliko), od elementov druge in tretje vrstice zaporedno odštejemo elemente prve vrstice. V prvem stolpcu pod "vodilnim" elementom dobimo ničle. Nato zamenjajte drugo in tretjo vrstico da bi za udobje. Elementom zadnje vrstice zaporedno dodajte elemente druge vrstice, pomnožene s 3.
3. Z izračunom matrike po Gaussovi metodi dobimo stopenjsko matriko elementov. Na podlagi tega sestavimo nov sistem linearnih enačb. Z obratno Gaussovo metodo najdemo vrednosti neznanih členov. Iz zadnje linearne enačbe je razvidno, da je x₃ enak 1. To vrednost vstavite v drugo vrstico sistema. Enačba x₂ - 4 = -4. Iz tega sledi, da je x₂ je enak 0. Zamenjava x₂ in x₃ v prvo enačbo sistema: x₁ + 0 +3 = 2. Neznani izraz je -1.

Odgovor: Z uporabo matrične Gaussove metode smo našli vrednosti neznank; x₁ = -1, x₂ = 0, x₃ = 1.

Gauss-Jordanova metoda

V linearni algebri obstaja tudi koncept Gauss-Jordanove metode. Velja za modifikacijo Gaussove metode in se uporablja pri iskanju obratne vrednosti matrike, računanju neznanih členov kvadratnih sistemov algebrskih linearnih enačb. Gauss-Jordanova metoda je priročna, ker rešuje SLU v enem koraku (brez uporabe korakov naprej in nazaj).

Začnimo z izrazom "inverzna matrika". Predpostavimo, da imamo matriko A. Inverzna vrednost te matrike je matrika A^-1, in pogoj je obvezen: A × A^-1 = A^-1 × A = E, t. е. produkt teh matrik je enak matriki enote (v matriki enote so elementi glavne diagonale enice, drugi elementi pa nič).

Pomembna podrobnost: v linearni algebri obstaja izrek o obstoju za obratno matriko. Zadosten in nujen pogoj za obstoj matrike A^-1 - Nesingularnost matrike A. Če je nedegeneriran, potem det A (determinanta) ni enak nič.

Osnovni koraki, na katerih temelji Gauss-Jordanova metoda:

1. Oglejte si prvo vrstico določene matrike. Če prva vrednost ni nič, lahko začnete uporabljati Gauss-Jordanovo metodo. Če je prvi element 0, zamenjajte vrstice tako, da ima prvi element vrednost, ki ni nič (po možnosti vrednost, ki je bližje ena).
2. Delite vse elemente prve vrstice s prvim številom. Pojavila se bo vrstica, ki se začne z enim.
3. Od druge vrstice odštejemo prvo vrstico, pomnoženo s prvim elementom druge vrstice, t. е. Na koncu boste dobili vrstico, ki se začne z nič. Enako naredite tudi z ostalimi vrsticami. Če želimo, da je diagonala enaka ena, vsako vrstico delimo z njenim prvim neničelnim elementom.
4. Z Gauss-Jordanovo metodo boste dobili zgornjo trikotno matriko. Glavno diagonalo matrike predstavljajo enice. Spodnji kot je zapolnjen z ničlami, zgornji pa z različnimi vrednostmi.
5. Od predzadnje vrstice odštejte zadnjo vrstico, pomnoženo z zahtevanim faktorjem. Dobiti morate vrstico z ničlami in enico. Za preostale vrstice ponovite isto dejanje. Rezultat vseh teh transformacij je enotska matrika.

Primer iskanja inverzne matrike z Gaussovo-Jordanovo metodo

Za izračun inverzne matrike moramo zapisati razširjeno matriko A|E in izvesti potrebne transformacije. Vzemimo preprost primer. Spodnja slika prikazuje matriko A.

Rešitev:

1. Najprej poiščemo determinanto matrike z Gaussovo metodo (det A). Če ta parameter ni enak nič, se matrika šteje za nedegenerirano. To nam bo omogočilo sklepati, da ima A zagotovo A^-1. Za izračun determinante matriko pretvorimo v stopenjsko obliko z uporabo osnovnih transformacij. Izračunajmo število K, ki je enako številu permutacij vrstic. Vrstice smo zamenjali le enkrat. Izračunajte determinanto. Njena vrednost bo enaka zmnožku elementov glavne diagonale, pomnoženih z (-1)^K. Rezultat izračuna: det A = 2.
2. Oblikujmo razširjeno matriko tako, da prvotni matriki dodamo matriko enote. Dobljeno matriko elementov bomo uporabili za iskanje inverzne matrike z Gaussovo-jordanijsko metodo.
3. Prvi element v prvi vrstici je enak 1. S tem smo zadovoljni, t. к. ni potrebe po preurejanju vrstic in deljenju te vrstice s poljubnim številom. Začnimo z drugo in tretjo vrstico. Da bi prvi element v drugi vrstici postal 0, od druge vrstice odštejemo prvo vrstico, pomnoženo s 3. Od tretje vrstice najprej odštejte (množenje ni potrebno).
4. V dobljeni matriki je drugi element druge vrstice -4, drugi element tretje vrstice pa -1. Zaradi priročnosti zamenjajmo vrstice. Od tretje vrstice odštejte drugo vrstico, pomnoženo s 4. Drugo vrstico delite z -1, tretjo vrstico pa z 2. Dobimo zgornjo trikotno matriko.
5. Od druge vrstice odštejte zadnjo vrstico, pomnoženo s 4, od prve vrstice pa odštejte zadnjo vrstico, pomnoženo s 5. Nato odštejemo drugo vrstico od prve, pomnožene z 2. Na levi strani imamo enotsko matriko. Na desni strani je inverzna matrika.

Primer rešitve SLU z metodo Gauss-Jordan

Slika prikazuje sistem linearnih enačb. Vrednosti neznanih spremenljivk moramo poiskati s pomočjo matrike, Gauss-Jordanove metode.

Rešitev:

1. Povečana matrika. To storimo tako, da koeficiente in proste člene vpišemo v tabelo.
2. Rešite matriko z Gauss-Jordanovo metodo. Od vrstice številka 2 odštejte vrstico številka 1. Odštejemo vrstico številka 1 od vrstice številka 3, ki smo jo prej pomnožili z 2.
3. Zamenjajte vrstici 2 in 3.
4. Od vrstice 3 odštejte vrstico 2, pomnoženo z 2. Dobljeno tretjo vrstico delite z -1.
5. Od vrstice 2 odštejte vrstico 3.
6. Od vrstice 1 odštejte vrstico 2, pomnoženo z -1. Na strani imamo stolpec, sestavljen iz številk 0, 1 in -1. Iz tega sklepamo, da je x₁ = 0, x₂ = 1 in x₃ = -1.

Če želite, lahko rešitev preverite tako, da izračunane vrednosti vstavite v enačbe:

• 0 - 1 = -1, prva identiteta v sistemu je resnična;
• 0 + 1 + (-1) = 0, druga identiteta iz sistema je resnična;
• 0 - 1 + (-1) = -2, tretja identiteta sistema je resnična.

Zaključek: Z uporabo Gauss-Jordanove metode smo našli pravilno rešitev kvadratnega sistema, ki združuje linearne algebrske enačbe.

Spletni kalkulatorji

Življenje sodobne mladine, ki študira na visokošolskih ustanovah, in linearna algebra sta se močno poenostavila. Do pred nekaj leti je bilo treba rešitve sistemov z Gaussovo in Gauss-Jordanovo metodo iskati neodvisno. Nekateri učenci so bili pri reševanju nalog uspešni, drugi pa so bili zmedeni, delali napake in prosili za pomoč sošolce. Danes lahko za domačo nalogo uporabite spletne kalkulatorje. Za reševanje sistemov linearnih enačb in iskanje inverznih matrik so bili napisani programi, ki ne prikazujejo le pravilnih odgovorov, temveč tudi rešitev danega problema.

Na spletu je na voljo kar nekaj virov z vgrajenimi spletnimi kalkulatorji. Gaussove matrike, sisteme enačb rešite v nekaj sekundah s temi programi. Učenci morajo navesti le potrebne parametre (npr. število enačb, število spremenljivk).