Izračun kota med premico in ravnino. Koordinatna metoda za reševanje problemov

Eden najbolj razširjenih problemov v stereometriji je problem presečišča premic in ravnin ter izračun kotov med njimi. V tem članku podrobneje obravnavamo tako imenovano koordinatno metodo in kote med premico in ravnino.

Ravne črte in ravnine v geometriji

Preden začnemo obravnavati koordinatno metodo in kot med premico in ravnino, se moramo seznaniti z imenovanimi geometrijskimi objekti.

Ravna črta je taka množica točk v prostoru ali ravnini, od katerih lahko vsako dobimo z linearnim prenosom prejšnje na določen vektor. V nadaljevanju ta vektor označujemo s simbolom u¯. Če ta vektor pomnožimo s poljubnim številom, ki ni nič, dobimo vzporedni vektor u¯. Ravna črta je linearni, neskončni predmet.

Ravnina je tudi množica točk, ki so, če iz njih konstruiramo poljubne vektorje, vse pravokotne na nek vektor n¯. Slednji se imenuje normalno ali preprosto običajno. Ravnina je v nasprotju s premico dvodimenzionalni neskončni predmet.

Koordinatna metoda za reševanje problemov v geometriji

Na podlagi imena metode je mogoče sklepati, da je metoda metoda reševanja problemov, ki temelji na izvajanju analitičnih zaporednih izračunov. Z drugimi besedami, koordinatna metoda omogoča reševanje geometrijskih problemov z univerzalnimi orodji algebre, med katerimi so najpomembnejše enačbe.

Omeniti je treba, da se je omenjena metoda pojavila na pragu sodobne geometrije in algebre. K temu so v 17. in 18. stoletju veliko prispevali René Descartes, Pierre Fermat, Isaac Newton in Leibniz.

Bistvo metode je v izračunu razdalj, kotov, površin in prostornin geometrijskih elementov na podlagi znanih koordinat točk. Upoštevajte, da je oblika dobljenih enačb odvisna od koordinatnega sistema. Pri reševanju problemov se najpogosteje uporablja kartezični sistem, saj je najpriročnejši za delo.

Enačba ravne črte

Obravnava koordinatne metode in kotov med premico in ravnino se začne z določitvijo enačbe premice. Obstaja na več načinov predstavitve črt v algebrski obliki. Tu obravnavamo samo vektorsko enačbo, saj lahko iz nje zlahka izpeljemo katero koli drugo obliko, s katero je enostavno delati.

Predpostavimo, da obstajata dve točki P in Q. Znano je, da lahko skozi njiju potegnemo črto, ki je edinstvena. Ustrezna matematična predstavitev elementa je naslednja:

(x, y, z) = P + λ*PQ¯.

Pri čemer je PQ¯ vektor, katerega koordinate dobimo na naslednji način:

PQ¯ = Q - P.

Simbol λ označuje parameter, ki ima lahko popolnoma poljubno število.

V zapisanem izrazu lahko spremenimo smer vektorja in zamenjamo koordinate Q. Vse te transformacije ne spremenijo geometrijske razporeditve črte.

Upoštevajte, da je pri reševanju problemov včasih treba v eksplicitni (parametrični) obliki predstaviti vektorsko enačbo, zapisano.

Opredelitev ravnine v prostoru

Tako kot za premico tudi za ravnino obstaja več oblik matematičnih enačb. Med njimi omenimo vektorsko enačbo, enačbo v segmentih in splošno obliko. V tem članku bomo posebno pozornost namenili slednji obliki.

Splošno enačbo za poljubno ravnino lahko zapišemo na ta način:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Velike latinske črke so določene številke, ki določajo ravnino.

Ta oblika zapisa je priročna, ker izrecno vsebuje normalni vektor na ravnino. Je enakopraven:

n¯ = (A, B, C).

Poznavanje tega vektorja omogoča, da s hitrim vpogledom v enačbo ravnine predstavimo lego ravnine v koordinatnem sistemu.

Medsebojna razporeditev ravne črte in ravnine v prostoru

V naslednjem odstavku članka obravnavamo koordinatno metodo in kot med premico in ravnino. Pri tem odgovarjamo tudi na vprašanje, kako se lahko zadevni geometrijski elementi nahajajo v prostoru. Obstajajo trije načini:

1. Črta seka ravnino. S koordinatno metodo lahko izračunamo, v kateri točki se sekata premica in ravnina.
2. Ravnina premice je vzporedna z. V tem primeru sistem geometrijskih enačb nima rešitve. Za dokazovanje vzporednosti običajno uporabljamo lastnost skalarnega produkta direktnega vektorja premice in normale ravnine.
3. Ravnina vsebuje premico. Če rešimo sistem enačb v tem primeru, ugotovimo, da za vsako vrednost parametra λ dobimo pravilno enakost.

V drugem in tretjem primeru je kot med danima geometrijskima objektoma enak nič. V prvem primeru je med 0 in 90^o.

Izračunavanje kotov med premicami in ravninami

Sedaj pa preidimo neposredno na temo članka. Vsako presečišče premice in ravnine je pod nekim kotom. Ta kot tvorita črta sama in njena projekcija na ravnino. Projekcijo lahko dobimo tako, da iz katere koli točke na ravnini spustimo pravokotnico in nato skozi nastalo presečišče ravnine in pravokotnice ter skozi presečišče ravnine in prvotne premice vodimo premico, ki je projekcija.

Računanje kotov med premicami in ravninami ni zapleteno. Za rešitev je dovolj, da poznamo enačbe ustreznih geometrijskih objektov. Predpostavimo, da so te enačbe videti takole:

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ∗(a, b, c);

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Zahtevani kot zlahka najdemo, če izkoristimo lastnost produkta skalarnih vektorjev u¯ in n¯. Končna formula je videti takole:

θ = arcsin(|(u¯*n¯)|/(|u¯|*|n¯|)).

Ta formula pravi, da je sinus kota med premico in ravnino enak razmerju med modulom skalarnega produkta označenih vektorjev in produktom njunih dolžin. Da bi razumeli, zakaj se namesto kosinusa pojavi sinus, si oglejmo spodnji diagram.

Če uporabimo funkcijo kosinus, dobimo kot med vektorjema u¯ in n¯. Kot θ (α na sliki) dobimo na naslednji način:

θ = 90^o - β.

Sinus se dobi z uporabo formul za grafen.

Primer problema

Preidimo na praktično uporabo. Rešite tipično težavo na kot med črta in ravnina. Podane so naslednje koordinate štirih točk:

P = (1, -1, 0);

Q = (-1, 2, 2);

M = (0, 3, -1);

N = (-2, -1, 1).

Znano je, da skozi točki PQM poteka ravnina, skozi MN pa premica. S koordinatno metodo je treba izračunati kot med ravnino in premico.

Najprej zapišimo enačbi premice in ravnine. Za ravno črto ga ni težko dobiti:

MN¯ = (-2, -4, 2) =>

(x, y, z) = (0, 3, -1) + λ*(-2, -4, 2).

Če želite sestaviti enačbo ravnine, najprej poiščite njeno normalo. Njene koordinate so enake vektorskemu produktu dveh vektorjev, ki ležita v tej ravnini. Imamo:

PQ¯ = (-2, 3, 2);

QM¯ = (1, 1, -3) =>

n¯ = [PQ¯*QM¯] = (-11, -4, -5).

Koordinate poljubne točke, ki leži v ravnini, vstavite v splošno ravninsko enačbo, da dobite vrednost prostega člena D:

P = (1, -1, 0);

- (A*x + B*y + C*z) = D =>

D = - (-11 + 4 + 0) = 7.

Enačba ravnine je v obliki:

11*x + 4*y + 5*z - 7 = 0.

Ostane nam še enačba za kot, ki ga tvori presečišče premice in ravnine, da dobimo odgovor na nalogo. Imamo:

(u¯*n¯) = (11, 4, 5)*(-2, -4, 2) = -28;

|u¯| = √24; |n¯| = √162;

θ = arcsin(28/√(162*24)) = 26,68^o.

Na primeru tega problema smo pokazali, kako uporabiti koordinatno metodo za reševanje geometrijskih problemov.