Pojem kotnega pospeška. Enačbe za kinematiko in rotacijsko dinamiko. Primer naloge

Vrtenje teles je ena najpomembnejših vrst mehanskega gibanja v tehniki in naravi. Za razliko od linearnega gibanja ga opisuje lasten sklop kinematičnih značilnosti. Kotni pospešek je eden od njih. Opišimo to količino v članku.

Rotacijsko gibanje

Pred kot pa reči o kotnem pospešku, opišite vrsto gibanja, za katero velja. Vrtenje je gibanje teles po krožnih poteh. Da bi prišlo do rotacije, morajo biti izpolnjeni določeni pogoji:

• prisotnost osi ali točke vrtenja;
• Prisotnost centripetalne sile, ki bi telo obdržala v krožni orbiti.

Primeri tovrstnega gibanja so različna zabaviščna kolesa, kot je vrtiljak. V tehniki se vrtenje kaže kot gibanje koles in gredi. V naravi je najbolj nazoren primer te vrste gibanje je vrtenje planetov okoli lastne osi in okoli Sonca. Vlogo centripetalne sile v zgornjih primerih imata sili medatomske interakcije v trdnih snoveh in gravitacijska interakcija.

Kinematične značilnosti vrtenja

Te značilnosti vključujejo tri količine: kotni pospešek, kotno hitrost in kot vrtenja. Označimo jih z grškimi simboli α, ω in θ.

Ker se telo giblje po krogu, je priročno izračunati kot θ, za katerega se obrne v danem času. Ta kot je izražen v radianih (redkeje v stopinjah). Ker ima krog 2 × pi radianov, lahko zapišemo enačbo, ki povezuje θ z dolžino loka L pri vrtenju:

L = θ × r

kjer je r polmer vrtenja. Te formule ni težko izpeljati, če se spomnite ustreznega izraza za obseg.

Kotna hitrost ω, tako kot njena linearna ustreznica, opisuje hitrost vrtenja okoli osi, tj. opredeljena je z naslednjim izrazom:

ω¯ = d θ / d t

Vrednost ω¯ je vektor. Usmerjena je vzdolž osi vrtenja. Njegova enota je radian na sekundo (rad/s).

Kotni pospešek je fizikalna značilnost, ki določa, kako hitro se ω¯ spreminja, in je matematično zapisan na naslednji način:

α¯ = d ω¯ / d t

Vektor α¯ je usmerjen proti vektorju hitrosti ω¯. Nadalje velja, da je kotni pospešek usmerjen proti vektorju momenta sile. Meri se v radianih na kvadratno sekundo (rad/s)²).

Momentum in pospešek

Če se spomnimo Newtonovega zakona, ki povezuje silo in linearni pospešek v eno samo enakost, in ga prenesemo na primer vrtenja, lahko zapišemo naslednji izraz

M¯ = I × α¯

M¯ je moment sile, ki je produkt sile, ki teži k odvijanju sistema z vzvodom - razdalje od točke delovanja sile do osi. Vrednost I je analogna masi telesa in se imenuje vztrajnostni moment. Tukaj zapisana formula se imenuje enačba momentov. Iz tega lahko kotni pospešek izračunamo na naslednji način:

α¯ = M¯ / I

Ker je I skalar, je α¯ vedno usmerjen v smer delujočega momenta sile M¯. Smer M¯ je določena s pravilom desne roke ali pravilom boraxa. M¯ in α¯ sta pravokotna na ravnino vrtenja. Večji kot je vztrajnostni moment telesa, manjši je kotni pospešek, ki ga lahko sistemu dodeli fiksni gibalni moment M¯.

Kinematične enačbe

Da bi razumeli pomembno vlogo kotnega pospeška pri opisu rotacijskega gibanja, zapišimo formule, ki povezujejo zgoraj obravnavane kinematične količine.

V primeru vrtenja s konstantno hitrostjo velja naslednje matematično razmerje:

ω = α × t;

θ = α × t² / 2

Prva formula kaže, da se kotna hitrost s časom povečuje po linearnem zakonu. Z drugim izrazom lahko izračunamo kot, za katerega se bo telo obrnilo v znanem času t. Graf funkcije θ(t) je parabola. V obeh primerih je kotni pospešek konstanten.

Če uporabimo formulo za razmerje med L in θ iz začetka članka, lahko dobimo izraz za α s pomočjo linearnega pospeška a:

α = a / r

Če je α konstanten, se bo linearni pospešek a povečeval sorazmerno s povečevanjem razdalje od osi vrtenja r. Zato za rotacijo uporabljamo kotne karakteristike, ki se v nasprotju z linearnimi karakteristikami ne spreminjajo s povečevanjem ali zmanjševanjem r.

Primer problema

Kovinska gred, ki se vrti s hitrostjo 2 000 obratov na sekundo, se je začela upočasnjevati in se po eni minuti popolnoma ustavila. Izračunati je treba stopnjo pospeševanja procesa upočasnjevanja. Izračunati je treba tudi število obratov, ki jih je gred naredila, preden se je ustavila.

Postopek upočasnjevanja vrtenja je opisan z naslednjim izrazom:

ω = ω₀ - α × t

Začetna kotna hitrost ω₀ se določi z vrtilno frekvenco f na naslednji način

ω₀ = 2 × pi × f

Ker poznamo čas upočasnitve, dobimo vrednost pospeška α:

α = ω₀ / t = 2 × pi × f / t = 209,33 rad/s²

To število je treba jemati z minusom, saj gre za zaviranje sistema in ne za njegovo pospeševanje.

Za določitev števila obratov, ki jih bo gred naredila med zaviranjem, uporabite izraz:

θ = ω₀ × t - α × t² / 2 = 376.806 radov.

Dobljeno vrednost kota vrtenja θ v radianih preprosto pretvorimo v število obratov gredi, preden se popolnoma ustavi, tako da jo preprosto delimo z 2 × pi:

n = θ / (2 × pi) = 60 001 obratov.

Tako smo dobili vse odgovore na vprašanja naloge: α = -209,33 rad/s², n = 60.001 obratov.