Diferenciacije in integracije: opredelitev, koncept, oblike

Diferenciacije in integracije so enačbe, ki vsebujejo derivate. Če se držimo matematičnih lastnosti, jih delimo na navadne in delne. Odvisniki predstavljajo hitrost spreminjanja, diferencialna enačba pa opisuje razmerje med količino, ki se med procesom reševanja nenehno spreminja in ustvarja nove spremenljivke.

Univerzitetni profesor lahko zlahka opravi zapletene operacije integralov, jih pretvori v eno samo celo število in nato dokaže račun z inverzno metodo. Vendar pa sposobnost hitrega priklica podrobnosti zapletenih formul ni na voljo vsem, zato je priporočljivo osvežiti spomin ali odkriti novo gradivo.

Pomen in glavna uporaba

V znanstveni literaturi je derivat opredeljen kot stopnja, ki je predmet transformacije funkcije na podlagi ene od njenih spremenljivk. Diferenciranje je bistvo računa, ki ga lahko primerjamo z začetkom iskanja tangente na točko. Kot vemo, so slednje različnih vrst in zahtevajo računske formule za iskanje. Recimo, da morate poiskati naklon tangente na graf v točki P. Kako to storite?? Dovolj je, da skozi označen predmet narišemo črto v obliki loka in jo dvignemo, dokler ne dobimo sekantne črte.

Funkcijo f v x imenujemo diferencibilna v točki x = a, če derivat f `(a) obstaja v vsakem zapisu njenega področja. Prikažimo primer:

f `(a) = lim (h=0) × f(a + h) - f(a)/h

Da bi enačbo diferencirali in integrirali tako, da bi jo bilo mogoče locirati v kateri koli točki x, ne sme biti prekinjena. Če predhodno narišete shematski prikaz, lahko preverite veljavnost. Prav zato je področje f `(x) opredeljeno z obstojem njegovih limit.

Predpostavimo, da je y = f(x) funkcija x, potem je derivativ f(x) podan kot dy/dx. Opredeljena je tudi kot linearna enačba, pri kateri moramo poiskati potrebne podatke o y.

Če pa v prvem primeru iščemo derivativ y, je naslednji primer iskanje f(x) iz x.

dy/dx × (f(x)) la ali df/dx la

Zato je zapis hitrosti spremembe funkcije f(x) glede na x v točki a, ki leži na njeni površini.

Če poznamo izpeljanko f`, ki je diferencialna na svojem področju, lahko najdemo njeno vrednost f. V integralskem računu imenujemo f antiderivativ ali primitiv funkcije f `. Metoda za izračun je znana kot antidiferenciacija ali integracija.

Vrste in oblike

Enačba z enim ali več členi, ki vključuje izpeljanke odvisne spremenljivke glede na neodvisno spremenljivko, je znana kot diferencialna enačba. Z drugimi besedami, sestavljen je iz niza številčnih vrednosti, skupnih ali delnih, ki se med postopkom reševanja spreminjajo.

Na tej točki obstajajo naslednje vrste diferencialnih enačb.

Navadni. Enostavna enakost, ki je neposredno odvisna od spremenljivke:

dy/dx + 5x = 5y

Z delnimi izpeljankami:

dy/dx + dy/dt = x3-t3

d2y/dx2 - c2 × d2y/dt2

višji koeficient. Za to vrsto je značilen red diferencialne enačbe, kot kaže spodnji primer, kjer je enak 3. Šteje se, da je to najvišje prisotno število:

d3y/dx2 + 5 × dy/dx + y = √x

Funkcije so lahko različnih vrst, vendar je najprimernejša enojna navednica z značilnimi formulami za integracijo in diferenciacijo.

y` = dy/dx

y` = d2y/dx2

y``` = d3y/dx3

Linearno. Spremenljivka v enačbi je povečana na ena. Graf te vrste funkcije je običajno ravna črta. Na primer, (3x + 5), vendar (x³ + 4x²) ni te vrste, saj zahteva drugačno rešitev.

dy/dx + xy = 5x

Nelinearni. Vsaka integracija in diferenciacija serij z dvojnimi načini pridobivanja enakosti - sklicujte se na zadevno obliko:

d2y/dx2- ln y = 10

Hitre metode za pridobitev rezultata

Ni dovolj, da si ogledate obliko, da bi vedeli, kako ravnati in uporabljati. Trenutno je na voljo več načinov izvedbe diferencialna enačba.

To so:

1. Delitev spremenljivk. To se izvede, če lahko primer predstavimo kot dy / dx = f(y) g(x). Posebnost je, da sta f in g funkciji, ki pripadata njunima vrednostma. Zaradi tega je treba problem preoblikovati: 1/ f(y) dy = g(x) dx. In šele nato nadaljujte z naslednjim elementom.
2. Metoda integracijskega faktorja. Uporablja se, kadar je primer dy / dx + p(x) y = q(x), pri čemer sta p in q samo funkciji x.

Diferencialni izračun prvega reda je videti kot y`+ P(x) y = Q (x), saj vsebuje potrebne funkcije in derivativ y. Kasnejše povečanje poimenovanja deluje po istem načelu. Odvodi neznane funkcije so lahko na primer delni ali običajni.

Nedoločeni integrali

Če imate na voljo hitrost kolesa v odvisnosti od časa, ali lahko iz minut, ki ste jih porabili za vožnjo, izračunate prevoženo razdaljo?? Naloga se zdi nemogoče breme, vendar jo lahko s pomočjo integralov rešite kar se da učinkovito in dobite rezultat.

V znanstveni literaturi je poudarjeno, da so obratno od diferenciacije. Integracija je namreč metoda seštevanja stvari. Povezuje posamezne dele in ustvarja nekaj novega - celoto. Glavna stvar pri vsakem podobnem primeru je: poiščite nedoločene integrale in preverite rezultate integracije z diferenciranjem. S tem se izognete nepotrebnim napakam.

Če želite poiskati površino poljubne krivulje, kot je y=f(x), uporabite obravnavano metodo. Ne pozabite, da vas bo pred napako rešila le skrbna pozornost.

Formule za rešitev

Po uvedbi osnovnega koncepta diferenciranja in integriranja - povratnega računanja s pomočjo funkcij - je treba na kratko pregledati nekatere osnove. Ti so navedeni v nadaljevanju.

Osnovna pravila računanja

Integrirane funkcije, kot je f (x), lahko enostavno prevedemo v enakost, tako da enačbo predstavimo kot: ∫ f(x) dx = F(x) + C.

Pri tem se F (x) imenuje antiderivativ ali primitivni. f(x) je integrirana funkcija. dx - deluje kot dodatno numerično sredstvo. C je integrirana ali poljubna konstanta. x - deluje glede na stran enakosti.

Iz zgornje izjave lahko sklepamo, da sta integracija in diferenciacija vrste dva nasprotna procesa. Skupaj delujejo kot vrsta operacije, katere cilj je dobiti končni rezultat, ki se izvede na sami enačbi.

Zdaj, ko vemo več o značilnostih računa, je priporočljivo poudariti prednostne razlike, potrebno za nadaljnje razumevanje:

1. Diferenciacija in integracija lahko hkrati izpolnjujeta pravila linearnosti.
2. Operacije so namenjene iskanju najbolj natančne rešitve, vendar za njihovo določitev veljajo omejitve.
3. Pri diferenciranju polinoma je rezultat za 1 manjši od stopnje funkcije, pri integriranju pa se rezultat pretvori v drugo in deluje nasprotno.
4. Obe rešitvi sta si, kot smo že omenili, nasprotni. Izračunamo jih z uporabo formul za integracijo in diferenciacijo.
5. Izpeljava vsake funkcije je edinstvena, po drugi strani pa se lahko dva integrala v istem primeru razlikujeta za konstanto. Prav to pravilo predstavlja glavno težavo pri reševanju problemov.
6. Pri obravnavi izpeljank lahko upoštevamo izpeljanke v točki. Skoraj tako kot pri integralih podajo funkcijo na intervalu.
7. Geometrijsko gledano derivativ opisuje hitrost spreminjanja neke količine glede na drugo, medtem ko nedoločeni integral predstavlja krivuljo. Razporejena je v vzporedni smeri in ima tangente na presečiščih nepravilnih črt z drugimi, ki so pravokotne na os, ki predstavlja spremenljivko.

Metode seštevanja

Če se soočate s problemom, kako se seštevanje uporablja pri matematičnih operacijah diferencialnega integriranja, se morate temeljito seznaniti z osnovnimi formulami. Pri učenju so aksiomatični, zato se uporabljajo univerzalno. Pri uporabi formul za lastne primere upoštevajte, da so formule resnične le, če se začnejo z i = 1.

Reševanje po delih

Včasih funkcija zahteva nekonvencionalen pristop, da pride do končnega rezultata in izpolni pogoj enakosti. Homogeno integriranje in diferenciranje vrst temelji na izraženi identiteti: ∫ f(x) g`(x) dx = f (x) g(x) - ∫ f`(x) g(x) dx

Algoritem za zadevno tehniko je naslednji:

1. Integrirano funkcijo izrazite kot produkt dveh izrazov. Eno označimo s f (x), drugo pa z g′ (x).
2. Sedaj določite drugi dve formuli, ki ju lahko uporabite v prvem koraku. Vrstica se bo spremenila. Z diferenciranjem preoblikujemo f ′(x) in dobimo izraz f (x). Nadaljujemo z drugim delom - g (x) integriramo v g′(x). V tem primeru ostane dx v prvotni obliki in se ne uporablja.
3. Izpeljane izraze postopoma vstavite v formulo. S tem je postopek končan, zdaj pa lahko poskusite oceniti novi integral na desni strani, saj je to veliko lažje razumeti.

Prej je ta metoda vključevala integracijo po delih z uporabo matrike. Metoda je bila uspešna, vendar je zahtevala veliko časa, zato se zdaj uporablja redkeje, v posebnih primerih, ko je rešitev skoraj nemogoče najti. V prvo vrstico vpišite f in g′, v drugo pa izračunajte f ′ in g.

Zakaj potrebujemo integracijo po delih??

Razmere so različne. Včasih se rešitve izkažejo za veliko bolj zapletene, kot je videti na prvi pogled. Zato moramo poudariti osnovne težave, ki se pogosto pojavljajo pri ročnem integriranju in diferenciranju vrst silnic. Dve osnovni pravili.

Najprej moramo del, ki ga nameravamo integrirati, tj. del, izbran za g ′(x), znati pretvoriti. Naredite to je pomembno, kolikor je mogoče hitro. Gre za to, da kompleksna integracija za g le redko privede do izboljšanega integrala, kar povečuje kompleksnost. Vse to negativno vpliva na našo svobodo delovanja pri odločitvah in je odvisno tudi od stopinj, sinusov in kosinusov. Iskanje pravilnega odgovora bo vzelo nekaj časa, vendar bo pripeljalo do pravilnega in ne zmedenega odgovora.

Drugič, vse drugo, tj. del, ki ga nameravamo razlikovati in označiti s F, mora izrazito izstopati po preoblikovanju. Po preprostem postopku bomo opazili, da je novi integral bolj poenostavljen kot njegov predhodnik.

Ko torej združimo obe pravili in ju uporabimo pri reševanju, izkoristimo diferenciranje in integriranje funkcij moči, kar je smiselno obravnavati po delih.

Obstaja tudi način za odstranitev x, ki nam omogoča učinkovito uporabo transformacij v različnih situacijah. Na primer, funkcijo lahko enostavno integriramo tako, da jo pomnožimo s polinomom, ki ga zmanjšamo z diferenciranjem.

∫ x2 sin(3x) dx

∫ x7 cos(x) dx

∫x4 e4x dx

Kot f vzamemo stopnjo x (v splošnejšem primeru polinom) in uporabimo g`. Očitno je, da vsaka diferenciacija zmanjša stopnjo števila za eno, zato, če je v primeru dovolj visoka, večkrat uporabite častno integracijo. To bo pomagalo skrajšati čas.

Zahtevnost nekaterih enačb

Tu se ukvarjamo z diferenciranjem in integriranjem vrst silnic. Funkcijo lahko obravnavamo, kot da je x območje konvergenčnega intervala točk. Res je, da ta metoda ne bo ustrezala vsem. Dejstvo je, da lahko vsako funkcijo izrazimo kot močnostno vrsto, ki se pretvori v linearno strukturo, in obratno.

Na primer, dano je e_x. To lahko izrazimo z enačbo, ki je pravzaprav le neskončni polinom. Močnostno vrsto je enostavno videti z računanjem, vendar to ni vedno učinkovito.

Določeni integral kot limita vsote

Oglejte si naslednji grafični prikaz integracije in diferenciacije.

Za lažje razumevanje kompleksne funkcije je dovolj, da jo temeljito razumemo. Ocenimo površino med krivuljo y = f (x), osjo x ter koordinatama "x = a" in "x = b". Interval [a, b] razdelimo na "n" enakih podintervalov, označenih na naslednji način: [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ]... [xn - 1 , xn ].

Pri čemer je x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, x3 = a + 3h.. .. xr = a + rh in xn = b = a + nh ali n = (b - a) / h. (1). Upoštevajte, da če je n → ∞ h → 0.

Obravnavani prostor PRSQP je vsota vseh "n" poddomen, pri čemer je vsaka opredeljena na določeni mediani [x_r-1 , х_r ], r = 1, 2, 3... n. S pravim pristopom lahko te funkcije razlikujemo in integriramo ter tako hitro rešimo.

Zdaj si oglejte ABDM na sliki. Na podlagi tega je smiselna naslednja ugotovitev o območjih: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

Upoštevajte tudi, da če je h → 0 ali x_r - х_r-1 → 0 vse tri regije postanejo skoraj enake druga drugi. Zato imamo:

sn = h [f(x0) + f(x1) + f(x2) + ... f(xn - 1)] = h r=0∑n-1 f(xr) (2)

ali Sn = h [f(x1) + f(x2) + f(x3) + ... f(xn)] = h r=1∑n f(xr) (3)

V tem primeru s_n in S_n označujemo vsoto površin vseh spodnjih in zgornjih pravokotnikov, dvignjenih nad intervala [x_r-1, х_r] za r = 1, 2, 3,..., n oziroma. Za lažjo predstavo lahko enačbo (1) prepišemo kot

sn< območje (PRSQP) < Sn ... (4)

Poleg tega se domneva, da sta meji (2) in (3) v obeh primerih enaki in da je skupna le površina pod krivuljo. Tako imamo:

limn → ∞ Sn = limn → ∞ sn = PRSQP = ∫ab f(x) dx ... (5)

Površina je tudi mejna vrednost prostora med pravokotnikoma pod krivuljo in nad krivuljo. Zaradi priročnosti je treba upoštevajte z višino lika, ki je enaka krivulji na levem robu vsakega podintervala. Zato se enačba prepiše v končno različico:

∫ab f(x) dx = limn → ∞ h [f(a) + f(a + h) + ... + f(a + {n - 1}h)]

ali ∫ab f(x) dx = (b - a) limn → ∞ (1/n) [f(a) + f(a + h) + ... + f(a + {n - 1}h)]

Zaključek

Diferenciacija in integracija se med seboj razlikujeta po številnih lastnostih, formulah in nasprotnih spremembah. Eden se ne more spremeniti v drugega brez pomoči. Če vam diferenciranje pomaga najti izpeljanko, pa je integracija povsem drugačno dejanje. Doda nekatere dele, lahko pomaga pri stopnjah, tako da jih zmanjša, ali izboljša primer s poenostavitvijo.

Velja tudi za preveriti diferencialne enačbe. Z drugimi besedami - delujejo kot celota, ki ne more obstajati ločeno, saj se medsebojno dopolnjujejo. Z uporabo pravil in poznavanjem številnih tehnik boste lahko reševali zapletene probleme.