Kaj je prizma? Enačbe za dolžino diagonale, površino in prostornino

Srednješolski tečaj geometrije je razdeljen na dva poglavja: planimetrijo in stereometrijo. Stereometrija preučuje prostorske oblike in njihove značilnosti. V tem članku si bomo ogledali, kaj je ravna prizma, in podali formule, ki opisujejo njene lastnosti, kot so dolžine diagonal, prostornina in površina.

Kaj je prizma?

Ko učence prosimo, da podajo definicijo prizme, odgovorijo, da gre za dva enaka vzporedna mnogokotnika s stranicami, povezanimi s paralelogrami. Ta definicija je kar se da splošna, saj ne postavlja pogojev glede oblike mnogokotnikov, njihove medsebojne razporeditve v vzporednih ravninah. Poleg tega predpostavlja obstoj povezovalnih paralelogramov, v razred katerih spadajo tudi kvadrat, romb in pravokotnik. Spodaj si lahko ogledate, kaj je štirikotna prizma.

Prizma je polieder z n + 2 stranicami, 2 × n vrhovi in 3 × n robovi, pri čemer je n število stranic (vrhov) poliedra.

Oba mnogokotnika se imenujeta osnovi lika, druge stranice so stranice prizme.

Pojem prizme

Obstajajo različne prizme. Govorimo o pravilnih in nepravilnih likih, trikotnih, petkotnih in drugih prizmah, konveksnih in konkavnih likih, ki so lahko poševni in ravni. Poglejmo podrobneje o slednjem.

Ravna prizma je figura iz preučevanega razreda poliedrov, katerih vsi stranski štirikotniki imajo prave kote. Obstajata le dve vrsti takšnih štirikotnikov, pravokotnik in kvadrat.

Ta oblika ima pomembno lastnost: višina prizme je enaka dolžini stranskih robov. Upoštevajte, da so vsi stranski robovi na sliki enaki drug drugemu. Stranski strani običajno nista enaki druga drugi. Njuna enakost je mogoča, če je prizma poleg tega, da je ravna, tudi pravokotna.

Spodnja slika prikazuje ravno figuro s petkotno osnovo. Vidimo, da so vse njegove stranice pravokotniki.

Diagonale prizme in njeni linearni parametri

Glavne linearne značilnosti vsake prizme so njena višina h in dolžine osnovnih stranic a_i, kjer i = 1, ..., n. Če je osnova pravilni mnogokotnik, je za opis njegovih lastnosti dovolj, da poznamo dolžino a na eni strani. S poznavanjem zgornjih linearnih parametrov lahko nedvoumno določimo lastnosti oblike, na primer njeno prostornino ali površino.

Diagonale desne prizme so odseki, ki povezujejo poljubna dva nesorodna vrhova. Takšne diagonale so lahko treh vrst:

• ki ležijo v ravninah podlage;
• ki je v ravninah stranskih pravokotnikov;
• ki pripada prostornini slike.

Dolžine diagonal, ki pripadajo osnovi, je treba določiti glede na vrsto n-kotnika.

Diagonale stranskih pravokotnikov se izračunajo po naslednji formuli

d_1i = √(a_i² + h²).

Za določitev prostorninskih diagonal je treba poznati dolžino ustrezne osnovne diagonale in višino. Če je neka diagonala temelja označena z d_0i, potem je prostorninska diagonala d_2i se izračuna na naslednji način

d_2i = √(d_0i² + h²).

Na primer v primeru pravilni štirikotnik za prizmo je dolžina prostorninske diagonale enaka

d₂ = √(2 × a² + h²).

Upoštevajte, da pravokotna trikotna prizma ima le eno od treh poimenovanih vrst diagonal: diagonalo stranice.

Površina obravnavanega razreda likov

Površina je površina vseh stranic lika. Da bi si lahko predstavljali vse plati, je treba narediti zvitek prizme. Primer takega pometanja za petkotno figuro je.

Vidimo, da je število ravninskih likov n + 2, pri čemer je n pravokotnikov. Za izračun površine celotne razpredelnice seštejemo površine dveh enakih osnov in površine vseh pravokotnikov. Potem je ustrezna formula v obliki:

S = 2 × S_o + h × ∑_i=1ⁿ (a_i).

Iz te enačbe je razvidno, da je stranska površina obravnavane prizme enaka zmnožku višine lika in oboda njegove osnove.

Območje temeljev S_o je mogoče izračunati z uporabo ustrezne geometrijske formule. Če je na primer osnova desne prizme - pravokotni trikotnik, potem dobimo

S_o = a₁ × a₂ / 2.

Kjer je a₁ in₂ - katete trikotnika.

Če je osnova n-kotnik z enakimi koti in stranicami, velja naslednja formula:

S_o = n / 4 × ctg (pi / n) × a².

Formula za prostornino

Določitev prostornine poljubne prizme ni težka naloga, če so znane vrednosti njene osnovne površine S_o in višine h. Z množenjem teh vrednosti med seboj dobimo prostornino V slike, tj:

V = S_o × h.

Ker je parameter h ravne prizme enak dolžini stranskih robov, se celoten problem izračuna prostornine zmanjša na izračun površine S_o. Zgoraj smo že povedali nekaj besed in podali nekaj formul, s katerimi lahko določimo S_o. Pri tem je treba opozoriti le na to, da je treba osnovo poljubne oblike razdeliti na preproste odseke (trikotnike, pravokotnike), izračunati površino vsakega od njih in nato vse površine sešteti, da dobimo S_o.